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Teoremas del álgebra de Boole

Anteriormente había una entrada en la que hablábamos de los operadores booleanos, pues en esta nueva actualización hablaremos de los teoremas de Boole. Por lo tanto veremos los operadores algebraicos (+), (-), (*) y un símbolo conocido para negar ( ' ) o recuerden la barra encima de las variables.

Recordemos:
(+) es el operador de la compuerta OR y (*) de AND.

Teorema 1: Ley de identidad

AND                            OR

1*A= A                        0+A=A

Teorema 2: Ley nula

AND                             OR

0*A=0                         1+A=1

Teorema 3: Ley de idempotencia

AND                              OR

A*A=A                        A+A=A

Teorema 4: Ley de involución o inversa

AND                               OR

A*A'=0                           A+A'=1

Teorema 5: Ley conmutativa

AND                              OR

A*B = B*A                   A+B = B+A

Teorema 6: Ley asociativa

AND                                              OR

(A*B)*C = A*(B*C)                   (A+B)+C = A+(B+C)

Teorema 7: Ley distributiva

AND                                                OR

A+B*C= (A+B)(A+C)                   A(B+C)= A*B + A*C

Teorema 8: Ley de absorción 

AND                                    OR

A(A+B)= A                       A+A*B= A

Leyes de Demorgan

Las primera  ley de Morgan permite que convirtamos un producto que esté negado a una suma también...negada.

Veamos mejor:

AND                                 

A'*B' = A'+B'                   

Mientras que la segunda hace todo lo contrario, una suma negada a un producto negado.

OR

A'+B' = A'*B'

Mapa de Karnaugh

Estos son la simplificación de los circuitos lógicos en el momento que tengamos una función lógica.

Escribiremos A' si A=0 o A si A=1. B' si B=0 o B si B=1 y C' si C=0 y C si C=1, así sucesivamente dependiendo de cuantas variables tengamos.

Contamos desde la segunda fila.

F= A'BC'+A'BC+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC

Universalidad de la compuerta NAND

¡Chaaaann!
Las compuertas NAND son llamadas universales debido a que con ellas podremos formar las demás compuertas, es decir que podremos crear una compuerta OR combinando dos NAND. Veamos mejor un ejemplo:
                                                                                           

Compuerta OR formada con compuertas NAND

Por lo tanto la tabla de valores que nos resultará, será la de OR. Tal cual.

A    B   X

0     0    0

0     1    1

1     0    1

1     1    1

• A0*B0= 0 como es un NAND entonces se niega y queda 1. B0*A0= 0  se niega y queda 1.   tomamos los dos 1 que nos dieron de resultado y los multiplicamos entre sí en la salida. (Siempre multiplicaremos porque NAND tiene como operador la multiplicación). AB= 1*1= 1 pero es NAND entonces se niega y queda 0.

Haremos esto con cada binario de la tabla de verdad para sacar la salida de la compuerta que queramos o tengamos que sacar. Claro, teniendo en cuenta la tabla de verdad de NAND.

Compuerta NOR con compuertas NAND

Compuerta AND con compuertas NAND

Compuerta NOT con compuertas NAND

Compuerta XOR con compuertas NAND

Compuerta XNOR con compuertas NAND

A continuación un ejemplo más para encontrar la tabla de verdad de las siguientes funciones.

X= (A*B) + (_A*B_) (_A*B_ la raya al piso representa la barra encima de las variables que significa que está negando).

1. Tenemos un AND, un NAND y un OR que pondremos como salida final. El OR representa el + en la función.

• A= 0   B=0

Primero (A*B)

0*0= 0

Luego (_A*B_)

0*0=1

Ahora sumamos los resultados pues OR es la suma.

0+1= 1

1 es la salida.

• A=0    B=1

Ahora con el siguiente.

AND: 0*1= 0

NAND: 0*1=1

OR: 0+1= 1

• A=1    B=0

AND: 1*0=0

NAND: 1*0= 1

OR: 0+1= 1

• A=1    B=1

AND: 1*1= 1

NAND: 1*1= 0

OR: 1+0= 1

Veremos en la tabla de la imagen que X es 1 en todas.

Compuertas Lógicas

Las compuertas lógicas son dispositivos electrónicos considerados como la representación física, podría decirse, de los operadores matemáticos que conocemos, (+, *), nos darán una función (en términos que no solemos entender, se llaman funciones BOOLEANAS) que nos indicará si debemos sumar, multiplicar o negar.

Así que ahora veremos las clases de compuertas lógicas que existen para entender mejor esto.

Primeraaa.

Compuerta Separador (Yes) Seehh

Función booleana: X=A

Comenzando se debe aclarar que esta compuerta no tiene ningún operador algebraico ya que solo tiene una entrada y una salida y su numero binario es el mismo para ambas. Se usa para amplificar la señal. 

              A    X

              0     0

              1     1  

Símbolo de YES

Compuerta NOT (No)

X=_A (sólo imaginen que esa raya al piso está encima de la variable A, o vean la imagen del final.)

Este invierte la señal, es decir niega los números binarios. Por eso se llama NOT. Su símbolo es una barra encima de las variables A y B y cuantas tengamos. Es decir, si A tuviera su binario en 1, le decimos NOT y esta cambiará a 0, y viceversa. 

            

            A   X

            0    1

            1    0   

Símbolo de NOT

Compuerta OR (ó)

X=A+B

Símbolo algebraico: (+) Suma.

Lo que debemos hacer cuando tengamos una compuerta OR es sumar. Esta compuerta tiene dos entradas y una salida, pero puede tener mas entradas. La tabla de verdades dice que si A o B o incluso ambas son 1, la salida será 1, si no, será Zero.

            

              A   B   X

              0    0    0

              0    1    1 >>>>> Encendido

              1    0    1 >>>>> Encendido

              1    1    1 >>>>> Encendido

Símbolo de OR

  

Compuerta NOR

X=_A+B_

Como la compuerta NOT, es un complemento pero NOR niega los binarios de OR, por eso hay un + es la "formula". Puede tener más de dos entradas y una salida. 

              A   B   X

              0    0    1

              0    1    0

              1    0    0

              1    1    0

Símbolo de NOR

Compuerta AND (o en spanish, Y)

X= A*B

Símbolo algebraico: (*) Multiplicación.

Esta compuerta tiene dos entradas que pertenecen a A y B llevandonos a UNA salida, la salida X.

Para entender un poco más fácil es mejor ver la tabla de verdades que usará los números binarios (Abajo la explicación de los números binarios) la cual nos dice que si A y B están en el binario 1 la salida será 1 porque 1*1=1. Es decir que las demás serán 0.

              A   B   X

              0    0    0

              0    1    0 

              1    0    0

              1    1    1 >>>>> Encendido

Esta compuerta puede tener mas de dos entradas por lo que si queremos que la salida sea 1 todas las entradas tienen que ser 1.

Símbolo de AND

Compuerta NAND (Not AND)

X=_A*B_

Esta es el complemento de AND, la cual negará los binarios de la compuerta AND. Como AND, puede tener más de dos entradas.

              A   B   X

              0    0    1

              0    1    0

              1    0    0

              1    1    0

Símbolo de NAND

Compuerta XOR

X=A(+)B (En este caso, la función de XOR también tendrá el operador + pero encerrado en un circulo. Como no sé cómo encerrarlo y no creo que se pueda lo pondré en paréntesis.)

              A   B   X

              0    0    0                               

              0    1    1           

              1    0    1

              1    1    0 <<<<

En OR 1+1 nos daba 1, pero en este caso tendremos en cuenta la manera de sumar binarios. Por eso sabemos que 1+1 es igual a 10 pero sólo tomaremos el segundo digito que es 0, la salida será 0.

Símbolo de XOR

Compuerta XNOR

X=_A(+)B_

¡Así es! Aquí negaremos XOR.

              A   B   X

              0    0    1                               

              0    1    0           

              1    0    0

              1    1    1

Símbolo de XNOR

_______________________________

El circulo en el símbolo de NOT, NAND, NOR y XNOR expresa la negación.

 

Barra encima de las variables significa negación. 

Sistemas Numéricos

Números Decimales

Los números decimales son los que usamos diariamente como para decir nuestra edad, la fecha, contar, etc,etc. Lo que es fácil saber que se tratan de los diez primeros números (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9) y continuaríamos tomando el 1 y el 0 para formar el...¡10! y así sucesivamente(11,...99,100...)

Números Binarios 

Tomada de seminariomenorbenjamin.blogspot.com

Por otro lado los números binarios sólo usa dos números, los cuales son el 0 y el 1. El cero al parecer no es tan inútil como pensamos.

Tomada de noticiascongabymia.blogspot.com

Esta pequeña computadora y la que tú estás usando precisamente utiliza el sistema binario como una representación de los números para sus operaciones digitales. Por eso vamos a ver como convertir un número decimal a uno binario y viceversa. 

Decimal a Binario

0                         0                  

1                         1

2                         10                

3                         11

4                         100

5                         101

6                         110

7                         111

8                         1000

9                         1001

10                       1010

Ahora comprobemos si 8 es igual a 1000. 

1. Dividimos el número decimal entre 2.

2. Tomamos el último cociente que nos de más los residuos que serán siempre 0 y 1.

Binario a Decimal

Con el mismo ejemplo comprobemos si 1000 es igual a 8.

1. Con cada uno de los dígitos comenzando de derecha a izquierda vamos a numerarlo con 2⁰,2¹ 2², 2³, 2⁴, 2⁵,^,......etc.
2. Procedemos a resolver cada potencia recordando que 2⁰ es igual a 1 a menos que el dígito sea 0. Y finalmente sumamos los resultados para obtener el decimal. 

3. Dicho anteriormente los dígitos 0 no se cuentan, sólo los 1.

Aquí otro ejemplo.